向量中如何表示内心

已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A。B。C边所对边长。则aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量) 证明：设三角形ABC,AD为BC边上的角平分线,内心为O。|BC|=a,|AC|=b,|AB|=caOA+bOB+cOC=aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA)=(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|又由角平分线定理,|DB|/|DC|=c/b,所以bDB+cDC=0(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)OA- b DA- c DA =aOA+(b+c)OD又因为OA、OD反向,用角平分线定理和合比定理：b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a,b/CD=OA/OD,所以OA/OD=(b+c)/a ,又因为OA、OD反向,故aOA+bOB+cOC=aOA+(b+c)OD =0。