过抛物线焦点F作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A和B两点线段AB的垂直平分线交抛物线的对称轴于N,求证[AB

不妨设抛物线为y^2=2px,则焦点F为(p/2,0),设A,B坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M为(x0,y0)则 y1^2=2px1,y2^2=2px2,x1+x2=2x0,y1+y2=2y0 y1^2-y2^2=2px1-2px2 ∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2) 即2y0(y1-y2)=2p(x1-x2) 所以直线AB的斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=p/y0 所以线段AB垂直平分线斜率为-y0/p ∴线段AB垂直平分线方程为y-y0=(-y0/p)(x-x0) ∴段AB的垂直平分线交对称轴于N(p+x0,0) ∴NF=(P+X0)-P/2=x0+p/2 由焦点弦公式得AB=x1+x2+p=2x0+p=2(x0+p/2) 所以AB=2NF