已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接A

（1）证明：∵C是AD的中点，∴AC＝CD，∴∠CAD=∠ABC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠CAD+∠AQC=90°又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ∴在△PCQ中，PC=PQ，∵CE⊥直径AB，∴AC＝AE∴AE＝CD∴∠CAD=∠ACE．∴在△APC中，有PA=PC，∴PA=PC=PQ∴P是△ACQ的外心．（2）∵CE⊥直径AB于F，∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=CFBF＝34，CF=8，得BF＝323．∴由勾股定理，得BC=CF2+BF2=403∵AB是⊙O的直径，∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=ACBC=34，BC=403，∴AC=10，易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴AC2=CQ•BC，∴CQ=AC2BC=152；（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°∴∠DAB+∠ABD=90°又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°∴∠DAB=∠G；∴Rt△AFP∽Rt△GFB，∴AFFG＝FPBF，即AF•BF=FP•FG易知Rt△ACF∽Rt△CBF，∴CF2=AF•BF（或由射影定理得）∴FC2=PF•FG，由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC∴（FP+PQ）2=FP•FG．