求第六题二元函数连续性的证明.

f(x,y)在矩形区域S=[a,b]x[c,d]上连续,因为S是闭区域,所以f(x,y)在S上一致连续。因此,任给ε＞0,存在Δ＞0,当||(x1,y1)-(x2,y2)||＜Δ,|f(x1,y1)-f(x2,y2)|＜ε。把y1,y2换成φn(x),φm(x),(x,φn(x)),(x,φm(x))∈S。根据条件,对这个Δ＞0,存在N＞0,当n,m＞N,||(x,φn(x))-(x,φm(x)||=|φn(x)-φm(x)|＜Δ对所有的x∈[a,b]成立,因而,当n,m＞N,|f(x,φn(x))-f(x,φm(x)|＜ε,对所有x∈[a,b]成立。