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双曲线方程典例分析江西省永丰中学 刘 忠一、求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程 或 （a、b>0）,通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法。例1 求与双曲线 有公共渐近线,且过点 的双曲线的共轭双曲线方程。解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ,将点 代入,得 ,∴双曲线方程为 ,由共轭双曲线的定义,可得此双曲线的共轭双曲线方程为 。评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题。一般地,与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 （kR,且k≠0）；有公共焦点的双曲线方程可设为 ,本题用的是待定系数法。例2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 ,它的两焦点分别为F1、F2,直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ,且 ,与线段F1F2的垂直平分线的交点为P,线段PF2与双曲线的交点为Q,且 ,建立适当的坐标系,求双曲线的方程。解 以F1F2的中点为原点,F1、F2所在直线为x轴建立坐标系,则所求双曲线方程为 （a>0,b>0）,设F2（c,0）,不妨设 的方程为 ,它与y轴交点 ,由定比分点坐标公式,得Q点的坐标为 ,由点Q在双曲线上可得 ,又 ,∴ ,,∴双曲线方程为 。评 此例用的是直接法。二、双曲线定义的应用1、第一定义的应用例3 设F1、F2为双曲线 的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=900,求ΔF1PF2的面积。解 由双曲线的第一定义知,,两边平方,得 。∵∠F1PF2=900,∴ ,∴ ,∴ 。2、第二定义的应用例4 已知双曲线 的离心率 ,左、右焦点分别为F1、F2,左准线为l,能否在双曲线左支上找到一点P,使 是 P到l的距离d与 的比例中项?解 设存在点 ,则 ,由双曲线的第二定义,得 ,∴ ,,又 ,即 ,解之,得 ,∵ ,∴ ,矛盾,故点P不存在。评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径 、 或其关系,解题过程将复杂得多。三、双曲线性质的应用例5 设双曲线 （ ）的半焦距为c,直线l过（a,0）、（0,b）两点,已知原点到 的距离为 ,求双曲线的离心率。解析 这里求双曲线的离心率即求 ,是个几何问题,怎么把题目中的条件与之联系起来呢?如图1,∵ ,,,由面积法知ab= ,考虑到 ,知 即 ,亦即 ,注意到a