定长为3的线段AB两个端点在抛物线y^2=x的移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求M的坐标.

设A,B坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),则所求M点到y轴距离为f(x1,x2)=(x1+x2)/2按照题目条件可得一下等式：y1^2=x1y2^2=x2(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=3^2整理得：x1^2-2x1x2+x2^2+x1+x2-2√(x1x2)=9令φ(x1,x2)=x1^2-2x1x2+x2^2+x1+x2-2√(x1x2)-9原题实际就是求f(x1,x2)=(x1+x2)/2在条件φ(x1,x2)=0时的条件极值。构成函数G(x1,x2,λ)=(x1+x2)/2+λφ(x1,x2)利用拉格朗日乘数法,得到一下方程组：G对x1求导=1/2+2λx1-2λx2+λ-λx2/[√(x1x2)]=0G对x2求导=1/2+2λx2-2λx1+λ-λx1/[√(x1x2)]=0φ(x1,x2)=0将前两个方程相减,得：λ(x1-x2)/[√(x1x2)]=0所以f(x1,x2)=(x1+x2)/2在满足条件φ(x1,x2)=0时的极值点为：λ=0或者x1=x2显然λ＝0不符合要求,所以在x1=x2时,f(x1,x2)=(x1+x2)/2取得极值,即当线段AB平行于y轴时,点M到y轴的距离最短。所以不妨令y1=-y2=3/2,易求得：(x1+x2)/2＝9/4即M到y轴最短距离为9/4,此时M点坐标为(9/4,0)