一道函数值域题y=根号（x-4）+根号(15-3x) 求值域 单调性更一般的y=m*根号（ax+b）+n*根号(cx+d

先说原题：y=根号（x-4）+根号(15-3x)=>定义域为[4,5]。。。。。。y=根号（x-4）+根号(15-3x)=根号（x-4）+根号3*根号(5-x)其中系数分别为1、根号3而两个根号函数的关系为[根号（x-4）]^2+[根号(5-x)]^2=1故可设根号（x-4）=sina;根号(5-x)=cosa。且满足00=>两者都是增函数(“两者”指前后两个带外侧系数的根号函数)=>y为增函数且x的定义域只有左端最小值的限制=>显然没有最大值（正无穷）最小值就是定义域的最小值x所对应的y的函数值举例：y=根号（x-4）+根号(3x-15)=>x=5时有最小值2、mx=4时有最大值3、m>0,a>0;ny为增函数且x的定义域只可能是空集或两端皆受限制的定义域=>显然没有最值或存在两端皆受限制的值域最大、小值就是定义域的最大、小值x所对应的y的函数值举例一：y=根号（x-3）-根号(6-3x)=>x空集,y无对应值域举例二：y=根号（x-2）-根号(6-2x)=>定义域为：[2,3],直接分别代入2、3即可球的最大最小值。。。。。。。。。。以上三种的共同性质就是y始终为增函数其值域可直接由x的定义域的两端判断类似的y始终为减函数的情况这里就不再多说了。。。。。。。。。而当前后两者一增一减时：1、m>0,a>0,n>0,c根号（x-4）=psina=2sina;根号（5-x）=2cosa;以下略。。。2、m>0,a>0;n0用举例来说明吧：举例一：设提取x的系数后根号外侧系数相同如根号(x-3)-根号(x-5)则根号(x-3)-根号(x-5)=[根号(x-3)-根号(x-5)]*[根号(x-3)+根号(x-5)]/[根号(x-3)+根号(x-5)]=[(x-3)-(x-5)]/[根号(x-3)+根号(x-5)]=2/[根号(x-3)+根号(x-5)]其中分母部分的最值求法已有故可求得原函数最值举例二：设提取x的系数后根号外侧系数不同如3根号(x-1)-根号(x-5)前后根号函数的关系为[根号(x-1)]^2-[根号(x-5)]^2=(x-1)-(x-5)=4=>{[根号(x-1)]/2}^2-{[根号(x-5)]/2}^2=1类似的,由(secx)^2-(tgx)^2=1可设[根号(x-1)]/2=seca[根号(x-5)]/2=tga于是原式化为：y=3*2seca-2tga=2*(3/cosa-tga)=2*(3-sina)/cosa这也是一个三角函数值域问题应该没问题了,我就不多说了这里万一有问题的话可以参考http://zhidao。baidu。com/question/54775773。html这是我对另外一道类似的三角函数值域的解答。。。。。。。。。以上两个举例在于外侧系数的等同于否综上拿到题目1、先求定义域2、判断前后两者增减性 1)若相同,则根据定义域两端求值域的两端。 2)若不同,继续判断外侧系数是否同正负 1>若相同,则提取系数,用正弦余弦变换 2>若不同,继续判断外侧系数绝对值是否相同 1》若相同,则用分子分母法对分子消元,求分母最值 2》若不同,则提取系数,用正切正割函数做变换。。。。。。另外补充一句以上皆为高中内容的算法如果你会用求导方法的话两步就都解决了没我说的这一堆东西这么麻烦 既然你欣赏向量法的解题方法那我简单解释一下具体做法：。。。其实是你对我的回答的最一开始的原题的解法没有深入理解（不妨再可以看一下本回答的最前面的部分）最终把原式化作：原式=sina+根号3*cosa=2sin(a+60)其中根号（x-4）=sina换一种写法也就是：原式=1*sina+根号3*cosa=向量（1,根号3）*向量（sina,cosa）=向量（1,根号3）*向量（根号(x-4),根号(5-x)）=【向量（1,根号3）的模】*【向量（根号(x-4),根号(5-x)）的模】*cos【向量夹角A】其中前一个向量已定,模为2后一个响亮模为1,但并不是一个单位圆此题中是位于第一象限的一个四分之一圆（取决于x的取值范围）于是夹角A也并非任意角,有一定范围（其实就是a）于是两向量同向时（夹角最小时）,有最大值,就是2夹角最大时为最小值。向量法,ok了吧? 最后在补充两句：1、类似于我对原题的解法：凡是有(sin,cos),就意味着可以用向量法,也就是说,此时向量法和三角函数法几乎没有意义上的区别。2、由于需要向量相乘的代数式形式,因此向量法好像只适用于此题,你的其他延伸问题可能还得参考我给你的方法做（或求导）