例谈数列有界性证明的几种方法

数列的有界性是数列的一个重要性质,该性质多见于高等数学的教材中,是研究数列极限的一个有力工具。为了更好的突出中学数学与大学数学之间的联系,中学数学中数列的证明题往往围绕着数列的这一重要性质来考查学生推理论证的能力。下面这个例子就是高考模拟题中的一个习题,通过这个习题来总结证明数列有界性的几种常见的方法。例已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-21bn。(1)求数列{an},{bn}的通项公式。(2)记cn=an。bn,求证:cn≤32(n∈N*)。从形式上知道该题的第(2)问属于证明题,本质上是数列有界性的证明题。学生通过算出的数列的通项公式可以发现该数列确实具备这样的性质,怎样完成这一证明呢首先根据学过的数列的基本知识算出an=2n-1,bn=32n,进而得出数列{cn}的通项公式cn=2(2n3n-1)。其次,根据该通项公式算出数列的前几项:c1=32,c2=32,c3=2170,c4=1481,…,发现随着项数的增加,相应项在减小(分子不如分母增加的多),有了这样的。