证明(1+2+.+n)*(1+1/2+.+1/n)>=n2+n+1

用向量或者柯西不等式证明向量A=(√1,√2,√3,。。。,√n)向量B=(√1,1/√2,1/√3,。。。,1/√n)那么|A|=√(1+2+。。。+n)|B|=√(1+1/2+。。。+1/n)A•B=1+1+。。。+1=n空间n维向量中恒有|A||B|≥A•B也就是√[(1+2+。+n)*(1+1/2+。+1/n)]≥n平方后就是(1+2+。+n)*(1+1/2+。+1/n)≥n²只能得到这个结论你的不等式不成立的n=1的时候就不成立n=2的时候时候也不成立。。 再问： （对于大于2的一切正整数N，该等式都成立）要用归纳法证明 再答： 数学归纳法 设f(n)=(1+2+。。。。+n)*(1+1/2+。。。。+1/n) 令n=k时 (1+2+。。。。+k)*(1+1/2+。。。。+1/k)≥k²+k+1 这里记g(k)=k²+k+1 那么g(k+1)=k²+3k+3 n=k+1的时候 (1+2+。。。。+(k+1))*(1+1/2+。。。。+1/(k+1)) =(1+2+。。。。+k)*(1+1/2+。。。。+1/k)+(k+1)*(1+1/2+。。。。+1/k)+(1+2+。。。。+k)(1/(k+1))+1 ≥k²+k+1+(k+1)*(1+1/2+。。。。+1/k)+(1+2+。。。。+k)(1/(k+1))+1① 其中 (1+2+。。。。+k)(1/(k+1))=k/2② 对于(k+1)*(1+1/2+。。。。+1/k) 1+1/2+1/3=11/6 那么在k≥3的时候 上面的≥(k+1)11/6③ 再将②③代入① 原式≥k²+k+1+(k+1)11/6+k/2+1=k²+20k/6+23/6>k²+3k+3=f(k+1) 于是我们得到，在k≥3的时候 假如f(k)≥g(k) 必有f(k+1)≥g(k+1) 现在只要晓得什么时候开始f(k)≥g(k) 那么对于大于k的任意n肯定不等式都成立的 我算了一下， 应该是n≥5的时候 n=1，2，3，4的时候不等式都不成立的！