怎样证明在数轴上表示无理数的点比有理数多?

无理数多。这是个穷集合的对等的问题,和有限集比较元素个数不同。首先说明什么是“多”。有理数和无理数不对等,即不能建立一一对应关系。而如果两个集合可以建立一一对应关系,则说它们是对等的（即“一样多”）。无穷集合的对等与有限集的一样多在直观上可能是不同的,如整数和偶数是可以一一对应的（n对应2n）,因而它们是对等的。因为有理数可以写成整数分数的形式,因此有理数和整数对儿对等；又因为整数对儿(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)……可以排成有序的一列（正负可以交错排列）,因此整数对儿和自然数也对等。同样的,由于无理数有1。1415926……,2。1415926……,3。1415926……,因此无理数的一部分可以与自然数建立一一对应关系,它们是对等的。因此无理数不会比自然数少,也就不会比有理数少。我们现在只要说明无理数与自然数不能对等。我们用反证法。反设无理数可以排成一列（从而可以编号1、2、3……）：x。xxxx……x。xxxx…………我们可以找出一个新的无理数,它的第一位与上面数列中的第一个数不同,第二位与数列中的第二个数不同,……从而这个新无理数就不在数列中,这是一个矛盾。此矛盾说明无理数不能排成一列,即无理数比自然数多,从而比有理数多。