梯形ABCD中,AD平行BC梯形ABCD面积=S,S三角形AOD=S1,S△BOC=S2,S△AOB=S3.求证

证明：∵梯形ABCD中,AD平行BC∴△AOD∽△BOC从而 S△AOD/S△BOC=OA^2/OC^2则 OA/OC=√S△AOD/√S△BOC=√S1/√S2 ①又三角形AOD与三角形COD的底分别为OA,OC。它们具有相同的高,设为H∴S△AOD/S△COD=（1/2*OA*H）/（1/2*OC*H）=OA/OC ②由①②得 S△AOD/S△COD=√S1/√S2 ③又三角形ABC与三角形BCD同底,等高从而 S△ABC=S△BCD ④又 S△AOB=S△ABC-S△BOC ⑤ S△COD=S△BCD-S△BOC ⑥由④⑤⑥得 S△COD=S△AOB=S3 ⑦由③⑦得 S1/S3=√S1/√S2∴√S1*√S2=S3 ⑧又S=S1+S2+S3+S3=S1+S2+2S3 二将⑧代入二得 S=S1+S2+2√S1*√S2则 (√S)^2=(√S1+√2)^2∴√S1+√2=√S 三由⑧三 得 √S1*√S2=S3 ,√S1+√2=√S根据韦达定理,得 对于 根下S1,根下S2是方程x^2-根下sx+S3=0的两根。