B为m阶对称正定阵,P是秩为r的m*r型矩阵,P^TBP=A,证明:证明:A是对称正定阵.

1。A'记作A的转置A'=(P'BP)'=P'B'PB为m阶对称正定阵,即B'=B所以 A'=P'BP=A ,即A是对称的。2。r维非零向量 x,x'Ax=x'(P'BP)x=(Px)'B(Px)因为R(P)=r,所以P的列向量线性无关,x是非零向量,即有Px也是非零向量,又B为正定阵,所以(Px)'B(Px)>0即 x'Ax>0A为正定矩阵。综上所述,A是对称正定阵。