已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0

学习时间:2026-05-30 01:50:05 阅读：522

已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0若存在常数c,使f(c/2)=0.求证：对于任意x属于R,有f(x+c)=-f(x)成立

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2026-05-30 01:50:05

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令x=y=0,得2f(0)=2*[f(0)]^2 且f(0)不等于0所以f(0)=1令x=0 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),所以 f(x)为偶函数,从而f(x+c)+f(x)=f(x+c)+f(-x)=2f(c/2)f(x+c/2)=0,所以有f(x+c)=-f(x)成立