证明数列收敛,并求极限
证明数列收敛,并求极限设a > 0 ,0 < X1< 1/a ,X n+1= X n (2 - a * X n) (n=1,2,…).证明｛X n｝收敛,并求lim(n→0)Xn.
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疯狂的八宝粥
2026-08-23 06:46:49
Xn+1=Xn×(2-a*Xn)=-a×(Xn-1/a)²+1/a→ (1/a-Xn+1)=a×(1/a-Xn)²令Yn=1/a-Xn,则Yn+1=a×Yn² (Y1=1/a-X1,n≥2)∴Yn+1=a^(2*n-1)×Y1^(2*n)=1/a×(a*Y1)^(2*n)∴Xn+1=1/a-1/a×(a*Y1)^(2*n)∵Y1=1/a-X1,即,0＜Y1＜1/a∴0＜a*Y1＜1∴0＜(a*Y1)^(2*n)＜1∴0＜Xn+1＜1/a当n→+∞时,(a*Y1)^(2*n)→0,Xn+1→1/a
最新回答共有2条回答
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2026-08-23 06:46:49感性的老师
回复Xn+1=Xn×(2-a*Xn)=-a×(Xn-1/a)²+1/a→ (1/a-Xn+1)=a×(1/a-Xn)²令Yn=1/a-Xn,则Yn+1=a×Yn² (Y1=1/a-X1,n≥2)∴Yn+1=a^(2*n-1)×Y1^(2*n)=1/a×(a*Y1)^(2*n)∴Xn+1=1/a-1/a×(a*Y1)^(2*n)∵Y1=1/a-X1,即,0＜Y1＜1/a∴0＜a*Y1＜1∴0＜(a*Y1)^(2*n)＜1∴0＜Xn+1＜1/a当n→+∞时,(a*Y1)^(2*n)→0,Xn+1→1/a
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