A为n阶实对称矩阵,B为半正定矩阵,求证AB特征值全为实数

注意CC^TB相似于C^{-1}(CC^TB)C=C^TBC即可 再问： 条件没说A正定额。 再答： 没看清楚，不过好办，假定B正定，用上述方法得到AB的特征值是实数。 若B奇异，取正定矩阵序列B_k=B+1/k*I -> B，再利用特征值的连续性即可。 另外，楼下的方法仅对这个问题有效，因为AB和BA的特征值在计代数重数的意义下完全相等，楼下的证明只能得到不计重数的意义下相等。更好的证明是看特征多项式或者直接验证 [I, -A; 0, I] * [AB, 0; B, 0] * [I, A; 0, I] = [0, 0; B, BA]