10个人做10道题,已知：没有两个人做对的题目完全相同

证明有问题:“若否命题成立,则不同的题目去掉后,满足条件的两人也必不同。这样就需要20人才能满足”,20人才能满足,这个结论有问题!设10道题分别用1,2,…,10表示,故10道题构成的集合为S={1,2,…,10},如果是11个人,11个人分别做对的题目构成的集合为{1,2,3,…,10}(全对),{2,3,4,…,10}(除1外),{1,3,4,…,10}(除2外),…,{1,2,3,…,9}(除10外),此时去掉任意一道题之后,必有两个人做对的题目完全相同。不需要20人,只需11人就能确保去掉任意一道题之后,必有两个人做对的题目完全相同。下面给出一个证明供你参考:证明 设10道题分别用t1,t2,…,t10表示,故10道题构成的集合为S={t1,t2,…,t10},10个人分别做对的题目构成的集合为S1,S2,…,S10,显然S1,S2,…,S10,均是S的子集,且由题意可知S1,S2,…,S10两两不同。下面用反证法证明该题的结论,如果不存在一道题去掉它之后,仍然没有两个人做对的题目完全相同。即去掉任意题之后,必有两个人做对的题目完全相同,如去掉t1之后,必存在不同的i,j,有Si-t1=Sj-t1,由题意Si与Sj不同,故t1必属于且仅属于Si和Sj之一,不妨设t1属于Sj,但不属于Si,故Si必是Sj的真子集（Si中的元素个数比Sj仅少一个,缺少一个t1）,换言之,S1,S2,…,S10中至少有一个集合不含有t1,并且另有一个集合包含它,比它仅多一个元素t1,这两个集合形成一对,同理,S1,S2,…,S10至少有一个集合不含有t2,t3,…,t10,并且该集合与另外一个集合形成一个对子,该集合是它配对集合的真子集,前者元素个数比后者仅少一个,象上面Si,Sj一样,不妨就用S1,S2,…,S10分别表示不含有t1,t2,…,t10的集合,下面证明这些集合两两不相同,如果S1与S2是同一个集合,则与它配对的集合Sk,必含有t1,t2,此时集合Sk比S1或S2多两个元素,这是不可能的,故S1,S2,…,S10两两不相同,此时与S1,S2,…,S10分别形成对子的集合必在S1,S2,…,S10这些集合之中,设Sk是S1,S2,…,S10中含有元素最多的一个集合,与Sk配对的集合也必在S1,S2,…,S10这些集合之中,但与Sk配对的集合的元素较Sk的元素多,这也是不可能的,完成了反证法的证明。