已知一个圆锥内切球的表面积为4π,当圆锥体积最小时,它的高为多少?求详解,

轴截面如图。因内切球O的表面积为4π,设其半径为r,则有4πr^2=4π,r=1。问题就是,如果一个圆锥的内切球半径为1,当圆锥体积最小时,它的高为多少。设圆锥的底面半径为R,高为H。因Rt△SCB∽Rt△SDO,所以OD/BC=SO/SB,即1/R=(H-1)/√(H^2+R^2),整理可得:R^2=H/(H-2)。圆锥的体积V=1/3*πR^2*H=1/3*π*[H/(H-2)]*H=(π/3)*[H^2/(H-2)] 。于是有：V==(π/3)*[H^2/(H-2)],整理为关于H的一元二次方程：πH^2-3VH+6V=0,其判别式△≥0,9V^2-24πV≥0,可得V≥24π/9,V(min)=24π/9,此时H=4。代入R^2=H/(H-2)得R=√2。综上所述,当圆锥的体积取得最小值24π/9时,其高为4。