求证:对任何自然数n,1*2*3...*k+2*3*4...(k+1)+...n(n+1)...(n+k-1)=[n(n

求证: 1*2*3*。。。*k+2*3*4*。。。*(k+1)+。。。+n(n+1)*…*(n+k-1)=[n(n+1)*。。。*(n+k)]/(k+1) (n为自然数)证一：数学归纳法。略。证二：裂项法。1*2*3。。。*k = (-0*1*2*3。。。*k+1*2*3。。。*k*(k+1))/(k+1)2*3。。。*k*(k+1)= (-1*2*3。。。*k*(k+1)+2*3。。。*(k+1)*(k+2))/(k+1)。。。n(n+1)*…*(n+k-1)=(-(n-1)n(n+1)*…*(n+k-1)+n(n+1)*。。。*(n+k)]/(k+1)将上面各式求和,得证。证二的另一描述：(i+1)(i+2)*。。。*(i+k)=(-i*(i+1)(i+2)*。。。*(i+k)+(i+1)(i+2)*。。。*(i+k)*(i+k+1))/(k+1)对i=0到n-1累加即证。另外可以用连加号∑(sum)和连乘号∏(prod)来表示,略。外一则：等效于证k!/0!+(k+1)!/1!+。。。+(k+n-1)!/(n-1)!=((k+n)!/n!)/(k+1)两边同除k!,即证C(k,0)+C(k+1,1)+。。。+C(k+n-1,n-1)=C(k+n,n)/(k+1)