求n阶实对称幂矩阵A（A^2=A)的秩为r,求：行列式 I+A+A^2+.+A^n

你问的题还是有些份量的哈, 哪来的题?解: 第1步。设a是A的特征值。则 a^2-a 是 A^2-A 的特征值而 A^2-A=0所以 a^2-a=0, a(a-1)=0。所以 a=0 或 1。第2步。因为实对称矩阵可对角化所以存在可逆矩阵P, 使得 P^-1AP = diag(1,1,。。。,1,0,0,。。。,0) =B (记为B)由 r(A)=r, 所以对角矩阵B=diag(1,1,。。。,1,0,0,。。。,0)中有r个1, n-r个0。且 B^k = B。第3步。由P^-1AP=B得 A=PBP^-1, 且有 A^k = (PBP^-1)^k = PB^kP^-1 =PBP^-1 所以|I+A+A^2+。+A^n|= | I+PBP^-1+PBP^-1+。。。+PBP^-1 |= |P(I+nB)P^-1|= |I+nB|= (1+n)^r。满意请采纳^_^