设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其

∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°，∴CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵PG⊥EF，∴∠PEF+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠APE=∠BPF=45°，∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，即∠APG=∠CPB，∵∠BPD=∠APG（对顶角相等），∴∠BPD=∠CPB，又∵PC=PD，PB是公共边，∴△PBC≌△PBD（SAS），∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，∴∠PBC+∠PBD=90°，即BC⊥BD．故证得：BC⊥BD，且BC=BD．