详细的如图,直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,一直AD=AB=3,BC=4,懂点P从B点出发,沿线段B

（1）在直角梯形ABCD中,∵QN⊥AD,∠ABC＝90°,∴四边形ABNQ是矩形。∵QD=t,AD=3,∴BN=AQ=3-t,∴NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。∵AB＝3,BC＝4,∠ABC＝90°,∴AC=5。∵QN⊥AD,∠ABC＝90°,∴MN‖AB,∴△MNC∽△ABC,即 ,∴MC=5t+1/4 。（2）当QD=CP时,四边形PCDQ构成平行四边形。∴当t=4-t,即t=2时,四边形PCDQ构成平行四边形。(3)∵MN‖AB,∴△MNC∽△ABC,要使射线QN将△ABC的面积平分,则△MNC与△ABC的面积比为1：2,即相似比为1：,∴ ,即 ,∴t= 。∴CN= ,MC= ,∴CN+MC= ,∵△ABC的周长的一半= =6≠ ,∴不存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。（4）分3种情况：①如图,当PM=MC时,△PMC为等腰三角形。则PN=NC,即3-t-t=t+1,∴ ,即 时,△PMC为等腰三角形。②如图,当CM=PC时,△PMC为等腰三角形。即 ,∴ 时,△PMC为等腰三角形。③如图,当PM=PC时,△PMC为等腰三角形。∵PC=4－t,NC=t+1,∴PN=2t-3,又∵ ,∴MN= ,由勾股定理可得[ ]2+（2t-3）2=（4－t）2,即当t= 时,△PMC为等腰三角形。