已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A^2+2A-E的特征值为?

-2,2,5,把原来的特征值带入方程即可。第一个理解,设v是A的对应特征值a的特征向量,那么Bv=(a^2+2a+-1)v,v也是B的对应于a^2+2a+-1的特征向量。从而因为A有个特征值,对应三个特征向量v1,v2,v3,所以我们也找到了B的三个特征向量,对应的特征值可以算出。第二个理解,从矩阵看,A可以对角化,即存在可逆阵P使得,PAP^{-1}为对角阵,对角线元素为-1,1,2,从而你可以计算PBP^{-1}也是个对角阵,（注意,PA^2 P^{-1}=PAP^{-1}PAP^{-1},简单）对角线元素可以轻易 算出。这两个解释本质是一样的 再问： 感谢！ 你的意思是可逆阵P使A对角化，也可同时使B对角化（why?代入B的表达式可得出关于A的对角阵的表达式)，由题设条件已知A的对角阵，而求出B的对角阵，从而求出特征向量。 但第一个理v是A的对应特征值a的特征向量，那么Bv=(a^2+2a+-1)v,v也是B的对应于a^2+2a+-1的特征向量（why？） 这个如何理解？ 再答： 计算一下就出来了，另外注意“对角阵的表达式”（即一个对角阵的方幂，或代入一个多项式，还是对角的。 第二，v是A的对应特征值a的特征向量，那么Bv=（A^2+2A-E）v=(a^2+2a+-1)v，根据特征向量的定义，v也是B的对应于a^2+2a+-1的特征向量