证明C(n+1,k)=C(n,k-1)+C(n,k) 及 C(n,r)*C(r,k)=C(n,k)*C(n-k,r-k)

(1)C(n,k-1)+C(n,k) = n!/((k-1)!*(n-k+1)!) + n!/(k!*(n-k)!)= n!*k/(k!*(n-k+1)!) +n!*(n-k+1)/(k!*(n-k+1)!) = n!*(n+1)/(k!*(n-k+1)!)= (n+1)!/(k!*(n-k+1)!)= C(n+1,k)(2)C(n,r)*C(r,k) = n!/(r!*(n-r)!) * r!/(k!*(r-k)!) = n!/((n-r)!*(r-k)!*k!)C(n,k)*C(n-k,r-k) = n!/(k!*(n-k)!) * (n-k)!/((r-k)!*(n-r)!) = n!/(k!*(r-k)!*(n-r)!)∴ C(n,r)*C(r,k) = C(n,k)*C(n-k,r-k) 再问： (1) = n!*k/(k!*(n-k+1)!) +n!*(n-k+1)/(k!*(n-k+1)!) = n!*(n+1)/(k!*(n-k+1)!) 是如何來的? 再答： 分母相同 分子 n!*k +n!*(n-k+1) = n!*(k+n-k+1) = n!*(n+1) = (n+1)!再问： 對不起, 我貼錯了 想指這個。 = n!/((k-1)!*(n-k+1)!) + n!/(k!*(n-k)!) = n!*k/(k!*(n-k+1)!) +n!*(n-k+1)/(k!*(n-k+1)!) 再答： n!/((k-1)!*(n-k+1)!) = n!*k/((k-1)!*k*(n-k+1)!) = n!*k/(k!*(n-k+1)!) n!/(k!*(n-k)!) = n!*(n-k+1)/(k!*(n-k)!*(n-k+1)) = n!*(n-k+1)/(k!*(n-k+1)!)