你好，今天公司口头答应赔偿一个月的工资，请我签订协商终止劳动合同

可以申请劳动仲裁。原因：劳动法中规定事业单位有为员工缴纳社会保险的义务，否则，员工与公司产生劳动争议时，可以通过劳动仲裁的途径进行解决

公司不签劳动合同，损害到劳动者的劳动权益的，劳动者可以积极收集相关证据去申请劳动仲裁

申请劳动仲裁的前提是双方存在劳动关系，而劳动关系的存在不以签订劳动合同为前提，故在没有签订劳动合同的情况下，一方是可以申请劳动仲裁