一道高数数列极限题设a>0,x1=a^(1/2),x2=(a+a^(1/2))^(1/2),……,x(n+1)=(a+x

证明：存在极限 首先,能寻找一个xi,使得xi大于1,否则数列小于1 又显然xi大于a,（否则数列递减,存在极限） 于是xi+a小于2xi 所以x（i+1)小于根号下2xi,即2^(1/2)乘以xi^(1/2) 所以x（i+2）小于根号下2x（i+1）,即2^（1/2+1/4）乘以xi^(1/4) …… 所以x（i+n）小于根号下2^（1/2+1/4+1/8+……1/2^n）乘以xi^(1/2^n),取极限,小于2乘以xi 所以有界,又x2显然大于x1 数学归纳法：设x（i+1）〉xi,所以a+x（i+1）大于a+xi,所以,根号下a+x（i+1）大于根号下a+xi,即x（i+2）〉x（i+1) 综上,单调有界 利用n趋近无穷大时 x(n)=x(n+1) 解得极限为[1+根号下（1+4a）]/2 解毕