已知f(x)在[0,1]上连续且在(a,b)内可导,又f(0)=0,0≤f'(x)≤1证明( ∫(0~1)f(x)dx)

设g(u)=( ∫(0~u)f(x)dx)^2- ∫(0~u)f(x)^3dx,0=0,则f(u)单增,f(0)=0,则f(u)>=0下面将中括号里的部分设为一个新的函数h(u)=2∫(0~u)f(x)dx-f(u)^2h'(u)=2f(u)-2f(u)f '(u),由于f(u)>=0,00因此h(u)为单增函数,由h(0)=0知,h(u)>=0因此g'(u)=f(u)h(u)>=0,则g(u)单增g(1)>=g(0)=0则( ∫(0~1)f(x)dx)^2- ∫(0~1)f(x)^3dx>=0即原式成立