若椭圆上任一点到其上顶点的的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离,求该椭圆离心率的取值范围?

设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)上顶点B(0,b),设P(x,y)为椭圆上任意点那么x²=a²(1-y²/b²)=a²-a²/b²*y²|PB|²=x²+(y-b)²=a²-a²/b²*y²+y²-2by+b²=(1-a²/b²)y²-2by+a²+b²=-c²/b²*y²-2by+a²+b²=-c²/b²(y²+2b³/c²*y)+a²+b²=-c²/b²(y+b³/c²)²+b⁴/c²+a²+b²这是关于y的二次函数,对称轴为y=-b³/c²∵ -b≤y≤b∴-b³/c²≥-b,即b²/c²≤1时,y=-b³/c²时,|PB|²取得最大值b⁴/c²+a²+b²=a⁴/c²|PB|max=a²/c恰好等于椭圆中心到准线的距离b²≤c²,c²=a²-b²≥a²-c² ==>2c²≥a² e²=c²/a²≥1/2 ∵0