如图,边长为1的正方形ABCD中,P为正方形内一动点,过点P且垂直于正方形两边的线段为

第一个问题：∵ABCD是正方形,又EF⊥AD、GH⊥AB,∴容易证得：ABFE、ADHG都是矩形,∴BF＝AE、DH＝AG,又AG＝AE,∴BF＝DH。∵ABCD是正方形,∴AB＝AD、∠ABF＝∠ADH＝90°。由AB＝AD、∠ABF＝∠ADH、BF＝DH,得：△ABF≌△ADH,∴AF＝AH。第二个问题：延长FB至M,使BM＝DH。∵AB＝AD、BM＝DH、∠ABM＝∠ADH,∴△ABM≌△ADH,∴∠BAM＝∠DAH、AM＝AH。∵ABCD是正方形、∠FAH＝45°,∴∠BAF＋∠DAH＝45°,又∠BAM＝∠DAH,∴∠BAF＋∠BAM＝45°,∴∠MAF＝45°,∴∠MAF＝∠HAF＝45°。∵AM＝AH、∠MAF＝∠HAF、AF＝AF,∴△MAF≌△HAF,∴MF＝FH,∴BM＋BF＝FH。容易证得：CHPF是矩形,又ABFE、ADHG都是矩形,∴BM＝DH＝AG、BF＝AE,∴AG＋AE＝FH。第三个问题：设BG＝x、BF＝y,则容易求出：PE＝1－x、PH＝1－y。∵BG＋BF＋GF＝1,∴x＋y＝1－GF。由勾股定理,有：GF＝√（BG^2＋BF^2）＝√（x^2＋y^2）,∴x＋y＝1－√（x^2＋y^2）,∴（x＋y）^2＝［1－√（x^2＋y^2）］^2,∴x^2＋y^2＋2xy＝1－2√（x^2＋y^2）＋x^2＋y^2,∴2xy＝1－2√（x^2＋y^2）,∴xy＝1/2－√（x^2＋y^2）。容易证得：EPHD是矩形。∴S(矩形EPHD)＝PE×PF＝（1－x）（1－y）＝1－x－y＋xy＝1－［1－√（x^2＋y^2）］＋［1/2－√（x^2＋y^2）］＝1/2。