数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn（n=1，2，3，…）．证明：

（I）证：由a1=1，an+1=n+2nSn（n=1，2，3，），知a2=2+11S1=3a1，S22＝4a12＝2，S11＝1，∴S22S11＝2又an+1=Sn+1-Sn（n=1，2，3，…），则Sn+1-Sn=n+2nSn（n=1，2，3，），∴nSn+1=2（n+1）Sn，Sn+1n+1Snn＝2（n=1，2，3，…），故数列{Snn}是首项为1，公比为2的等比数列．（II）证明：Sn+1=4an．当n=1时，S2=a1+a2=4a1，等式成立．由（1）知：Snn＝1×2n−1，∴Sn=n2n-1当n≥2时，4an=4（Sn-Sn-1）=2n（2n-n+1）=（n+1）2n=Sn+1，等式成立．因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an．