已知中心在原点的椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1的一个焦点为F1（0,3）,M（x,4）（x>0）为椭圆C上一

焦点坐标是F1(0,3),即有 c=3,a^2=b^2+c^2=b^2+9S(MOF1)=1/2OF1*|X|=3/2,X=1即M坐标是(1,4)即有1/b^2+16/a^2=11/b^2+16/(b^2+9)=1b^2+9+16b^2=b^4+9b^2b^4-8b^2-9=0(b^2-9)*(b^2+1)=0b^2=9,a^2=18故椭圆方程是y^2/18+x^2/9=1(2)OM的斜率是4,那么直线L的斜率也是4,设直线L的方程是y=4x+m代入到椭圆方程中有x^2/9+(16x^2+8mx+m^2)/18=118x^2+8mx+m^2-18=0x1x2=(m^2-18)/18,x1+x2=-4m/9y1y2=(4x1+m)(4x2+m)=16x1x2+4m(x1+x2)+m^2=16(m^2-18)/18-16m^2/9+m^2=m^2/9-1以AB为直径的圆过原点。,则有OA垂直于OB,则有x1x2+y1y2=0即有(m^2-18)/18+m^2/9-1=03m^2=36m^2=12m=土2根号3故存在,直线的方程是y=4x土2根号3