已知如图,AB+AD=BC+CD,求证BF+DF=BE+DE

本题思路不难,但计算相当繁琐。 因AB+AD=CB+CD若将B、D视为定点则上式表明动点A、C到定点B、D的距离和相等比照椭圆定义知A、C在一椭圆上,B、D为椭圆的两个焦点不妨令B(c,0),D(-c,0),A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ) 由两点式易知AB：y=bsinα(x-c)/(acosα-c)CD：y=bsinβ(x+c)/(acosβ+c)以下仅提供思路（注意运用两角和差的正弦公式、和差化积、积化和差,另外注意运用(cosα)^2+(sinα)^2=1、a^2=b^2+c^2两个公式）：联立上述两个方程得到交点F坐标由两点间距离公式可得到FB+FD=2c*{asin[(α+β)/2]+csin[(α-β)/2)]}/{csin[(α+β)/2]+asin[(α-β)/2)]} 同理可得到直线AD、BC的方程解方程组得到交点E的坐标由两点间距离公式可得到EB+ED=2c*{asin[(α+β)/2]+csin[(α-β)/2)]}/{csin[(α+β)/2]+asin[(α-β)/2)]} 所以FB+FD=EB+ED表明E、F到定点B、D的距离之和相等意味着E、F在焦点为B、D的另一个椭圆上