数学史上的危机带来了什么

发现无理数就导致了第一次数学危机,而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的,它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面,比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后,矛盾才能解决。后来算符演算及δ函数也重复了这个过程,开始是形式演算、任意应用,直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。对于第三次数学危机,有人认为只是数学基础的危机,与数学无关。这种看法是片面的。诚然,问题涉及数理逻辑和集合论,但它一开始就牵涉到无穷集合,而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合,那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容,也有许多问题要涉及无穷的方法,比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来,第三次数学危机是一次深刻的数学危机。