已知a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数．

（1）f(x)=lg1+ax1+2x，x∈（-b，b）是奇函数，等价于对于任意-b＜x＜b都有f(-x)=-f(x)    (1)1+ax1+2x＞0          (2)成立，（1）式即为 lg1-ax1-2x=-lg1+ax1+2x=lg1+2x1+ax．∴1-ax1-2x=1+2x1+ax，即a2x2=4x2，此式对于任意x∈（-b，b）都成立等价于a2=4，因为a≠2，所以a=-2，所以f(x)=lg1-2x1+2x；代入（2）式得：1-2x1+2x＞0，即-12＜x＜12对于任意x∈（-b，b）都成立，相当于-12≤-b＜b≤12，从而b的取值范围为(0，12]；（2）对于任意x1，x2∈（-b，b），且x1＜x2，由b∈(0，12]，得-12≤-b＜b≤12，所以0＜1-2x2＜1-2x1，0＜1+2x1＜1+2x2，从而f（x2）-f（x1）=lg1-2x21+2x2-lg1-2x11+2x1=lg(1-2x2)(1+2x1)(1+2x2)(1-2x1)＜lg1=0，因此f（x）在（-b，b）是减函数；