设n阶实矩阵A对称正定.试证明对于任意的n维向量x,图片中的不等式成立,其中K(A)为A的条件数.

1。 对A做谱分解, 利用2-范数的酉不变性, 可以不妨设A是对角阵2。 利用齐次性, 把A乘上一个正实数后结论不变, 所以可不妨设A的最大特征值和最小特征值的乘积是1接下来就好办了, 记A的特征值为d_1>=d_2>=。。。>=d_n, 其中d_1=d_n^{-1}=d, K(A)=d^24(x^TAx)(x^TA^{-1}x)