平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4．求m的值．

由已知AP=OP，点P在线段OA的垂直平分线PM上．
∴OA=AP=OP=4，
∴△AOP是等边三角形．
如图，当点P在第一象限时，OM=2，OP=4．
在Rt△OPM中，PM=OP2-OM2=42-22=23，（4分）
∴P（2，23）．
∵点P在y=-x+m上，
∴m=2+23．（6分）
当点P在第四象限时，根据对称性，P′（2，-23）．
∵点P′在y=-x+m上，
∴m=2-23．（8分）
则m的值为2+23或2-23．