2010全国数学建模A题答案

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点[说明]本要点仅供参考,各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题,问题由两大部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响,在已知变位参数的情况下,检测出油位高度和油量的对应数值,建模分析罐容表的变化规律,并给出修正的罐容表,属于“正问题”。（2）根据实际检测数据,正确识别罐体是如何变位的,具体变了多少?同时要给出罐容表的修正标定方法和结果,属于“反问题”。具体需要把握以下几个方面：第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题（1）要明确给出小椭圆型油罐正常体位（无变位）的不同油位高度与储油量的计算模型和公式,正确的结果(具体表达形式不唯一)是：,其中 分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度,为罐内的油位高度。通过代入几何参数计算得到正常（即标准）的罐容表对应值。表1：正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L10 163。59 40 1199。31 70 2489。15 100 3659。8820 450。27 50 1621。00 80 2910。84 110 3946。5530 803。54 60 2055。07 90 3306。61 120 4110。15（2）讨论罐体变位的影响,要求给出纵向倾斜变位后修正模型,用不同方法可能有不同的表达形式,但需要分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况。将变位参数代入模型,计算出修正后的罐容表标定值,并与正常的标定值进行比较,分析罐体变位的影响。实际上,对于纵向倾斜变位的影响明显,最大误差在257L以上,平均误差达到190L以上,平均相对误差达30%以上。表2：小椭圆罐的修正罐容表的部分结果（ ）油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L10 70。13 40 965。66 70 2232。50 100 3450。7220 281。86 50 1371。88 80 2661。42 110 3776。6430 595。25 60 1798。52 90 3072。43 120 4012。74第二部分：实际大储油罐的有关问题（1）根据储油罐纵向的变位方向,对于不同的油位高度,分别考虑油罐的两端有油和一端有油的情况建模分析,可以得到罐内实际储油量 与纵向倾斜变位参数 、横向偏转变位参数 和油位高度 的关系模型,即 。详细的解析模型表述形式比较复杂,重在分析过程,注意油罐两端含油的不同情况。当然,也可能通过实际数据采用数值方法、工程方法或几何方法等近似方法实现,但应关注引入变位参数的方法和表示形式的合理性。（2）必须明确给出变位参数的辨识准则。因为实际罐内油量初值未知,所以罐内储油量的准确值是未知的。由附件2的检测数据可以知道不同时刻的出油量 ,同时可以计算出相应油位高度的改变量 ,并由模型表达式 计算得到实际储油量的改变量Δ ,问题可归结为求解非线性最小二乘问题：,或 等。利用附件2中的部分数据（如前半部分）,借助于工具软件或各种数值方法求解得到参数估计值 。其具体的数值用不同的方法会有差别,但结果应是纵向倾斜变位角 略大于2度,横向偏转变位角影响不敏感。如果直接使用附件2中的显示储油量 和对应的 做参数估计,即求问题的解,这是不对的,因为 是无变位时的显示储油量。若储油量的体积公式 是正确的,则用该方法得到的参数 值会很小。如果经分析说明横向偏转变位的影响不大,则可以直接考虑纵向变位的单参数辨识。（3）根据修正模型 及参数估计值 ,可以得到变位后的罐容表（参见表3）。并利用附件2的实际检测数据（如后半部分）分析检验模型的正确性与方法的可靠性。表3：变位后储油罐的修正罐容表部分结果（使用参数 ）油位高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100油量/L 354。76 1065。80 2223。04 3702。65 5432。63 7371。38 9487。87 11756。61 14155。51 16664。62油位高度/cm 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200油量/L 19265。60 21941。18 24674。88 27450。77 30253。25 33066。99 35876。76 38667。27 41423。11 44128。48油位高度/cm 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300油量/L 46767。21 49322。44 51776。40 54109。93 56302。12 58329。27 60163。39 61768。90 63093。63 64026。17**用不同的方法,结果会有误差。（4）为便于比较计算结果,这里给出实际储油罐无变位情况的罐容表部分标定值（见表4）。表4：无变位情况下油罐的罐容表部分结果油位高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100油量/L 590。71 1682。06 3101。87 4783。00 6682。45 8767。91 11012。93 13394。65 15892。57 18487。88油位高度/cm 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200油量/L 21162。92 23900。88 26685。57 29501。18 32332。22 35163。15 37978。76 40763。45 43501。41 46176。46油位高度/cm 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300油量/L 48771。78 51269。71 53651。43 55896。45 57981。93 59881。39 61562。53 62982。36 64073。72 64664。45本参考要点给出的仅是一种可行解决方法,学生可以使用各种数值方法、工程方法和近似处理方法,请根据实际情况评判。