若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),试判断三角形ABC的形状是什么形状是什么

本人将过程叙述得详细些,估计你就能够看明白了。∵sinA＋sinB＝sinC（cosA＋cosB）,······①∴（cosA＋cosB）不为0,否则就有sinA＋sinB＝0,得：sinC＝0。而在△ABC中,sinC＞0。①的两边同除以（cosA＋cosB）,得：sinC＝（sinA＋sinB）/（cosA＋cosB）。在△ABC中,有：C＝180°－（A＋B）,∴sin［180°－（A＋B）］＝（sinA＋sinB）/（cosA＋cosB）。······②∵sinA＋sinB＝2sin［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］,　cosA＋cosB＝2cos［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］,∴（sinA＋sinB）/（cosA＋cosB）＝sin［（A＋B）/2］/cos［（A＋B）/2］,∴②可变成：sin（A＋B）＝sin［（A＋B）/2］/cos［（A＋B）/2］,∴2sin［（A＋B）/2］cos［（A＋B）/2］＝sin［（A＋B）/2］/cos［（A＋B）/2］。······③显然有：sin［（A＋B）/2］＝sin［（180°－C）/2］＝cos（C/2）＞0。∴③两边同除以sin［（A＋B）/2］,得：2cos［（A＋B）/2］＝1/cos［（A＋B）/2］,∴｛cos［（A＋B）/2］｝^2＝1/2,∴｛cos［（180°－C）/2］｝^2＝1/2,∴［sin（C/2）］^2＝1/2。在△ABC中,有：sin（C/2）＞0,∴sin（C/2）＝1/√2,∴C/2＝45°,∴C＝90°。∴△ABC是以AB为斜边的Rt△。本题还可以用正弦定理和余弦定理结合起来证明,具体如下：∵sinA＋sinB＝sinC（cosA＋cosB）,∴a/（2R）＋b/（2R）＝［c/（2R）］（cosA＋cosB）,∴a＋b＝c（cosA＋cosB）,∴2ab（a＋b）＝a（2bccosA）＋b（2accosB）,∴2ab（a＋b）＝a（b^2＋c^2－a^2）＋b（a^2＋c^2－b^2）,∴2ab（a＋b）＝ab（a＋b）＋c^2（a＋b）－（a^3＋b^3）,∴ab（a＋b）＝c^2（a＋b）－（a＋b）（a^2－ab＋b^2）。显然有：（a＋b）不为0,∴ab＝c^2－（a^2－ab＋b^2）,∴a^2＋b^2＝c^2。∴△ABC是以AB为斜边的Rt△。