如图,PA垂直于矩形ABCD所在平面,M,N分别为AB,PC的中点,若∠PDA=45°,求证：MN垂直于平面PCD

证明：取PD中点E,连接EN、AE因为 E为PD中点,N为PC中点所以 EN//且=1/2CD在矩形ABCD中所以 AB//且=AB因为 M为AB中点所以 EN//且=AM所以 四边形AENM为平行四边形,MN//AE 在Rt三角形ADP中因为 ∠PDA=45°,AE为PD中线所以 AE垂直于PD则 MN垂直于PD因为 PA垂直于矩形ABCD所在平面所以 CD垂直于AD,CD垂直于PA因为 AD、PA交于A所以 CD垂直于面ADP则 CD垂直于AE因为 AE垂直于PD,CD、PD交于D所以 AE垂直于面PCD即 MN垂直于面PCD