关于x的方程x²-mx-4分之3m-1=0 （1） 方程2x²-（m+6）x-m²+4=0

方程（1）：即4x²-4mx-3m+1=0,a=4,b=-4m,c=3m-1△=b²-4ac=16m²-48m+16x1,x2=(-b±√△)/2a故(x1)²+(x2)²=[(-b+√△)²+(-b-√△)²]/(2a)²=(b²+△+2b√△+b²+△-2b√△)/64=(2b²+2△)/64=(b²+△)/32=(16m²+16m²-48m+16)/32=(2m²-3m+1)/2方程（2）：2x²-（m+6）x-m²+4=0 [2x+(m-2)][x-(m+2)]=0故x3=(2-m)/2x4=(m+2)如果(x1)²+(x2)²=x4即 2m²-3m+1=2(m+2)2m²-5m-3=0则m1=3,m2=-1/2将m1,m2带回方程2中,发现m2无法满足方程（2）的整数根存在；m1=3时,x4=5=(x1)²+(x2)²,符合要求。如果(x1)²+(x2)²=x3即 2m²-3m+1=2-m2m²-2m-1=0则m3,m4=(1±√3)/2发现m3,m4无法满足方程（2）的整数根存在,即该结果无效。综上,只有当m=3时,满足方程（1）的两实数根的平方和等于方程（2）的一个整数根,即等于5。