设点C为曲线y＝2x（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．

（1）证明：点C(t，2t)（t＞0），因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．所以点E是直角坐标系原点，即E（0，0）．于是圆C的方程是(x−t)2+(y−2t)2＝t2+4t2．则A(2t，0)，B(0，4t)．由|CE|=|CA|=|CB|知，圆心C在Rt△AEB斜边AB上，于是多边形EACB为Rt△AEB，其面积S＝12|EA|•|EB|＝12•2t•4t＝4．所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4．（2）若|EM|=|EN|，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线，kEC＝2tt＝2t2，kMN=-2．所以由kEC•kMN=-1，得t=2，所以圆C的方程是（x-2）2+（y-1）2=5．