蝴蝶定理解释.证明了什么,要满足什么条件?怎样证明?谢谢!

定理内容：圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。证明：过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT。蝴蝶定理∵△AMD∽△CMB∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD,CT=1/2BC∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C∴△AMS∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∵∠OMX=∠OSX=90°[1]∴∠OMX+∠OSX=180°∴O,S,X,M四点共圆同理,O,T,Y,M四点共圆∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ,∵OM⊥PQ∴XM=YM[2]其它证明方法：令 x = XM ,a = PM则 AX · XD = PX · XQ = a² - x²在 ΔDXM 中,由正弦定理：DX = x·sin(α)/sin(180° - (α + β + γ)) = x·sin(α)/sin(α + β + γ)。在 ΔAXM 中：AX = x·sin(β)/sin(γ)所以有AX · DX = x²sin(α)·sin(β)/sin(γ)·sin(α + β + γ) = a² - x²;∴ x²; = a²;·sin(γ)·sin(α + β + γ))/(sin(α)·sin(β) + sin(γ)·sin(α + β + γ))在上面的式子中,α 和 β 是对称的。如果我们令 y = MY,会得到同样的结果∴ x = y,得证这个定理在椭圆中也成立,如图1,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M（o,r）（b>r>0）。（Ⅰ）写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2,y2)（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3,y3）,H（x4,y4）（y4>0）。求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q。求证：| OP | = | OQ |。（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）从x向AM和DM作垂线,设垂足分别为X'和X''。类似地,从Y向BM和CM作垂线,设垂足分别为Y'和Y''