求一道数学题 在三角形ABC中,已知（a+b+c）（a-b+c）=3ac,求角C

(a+b+c)(a-b+c)=3ac,(a+c)^2-b^2=3ac,a^2+c^2-b^2=ac, cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2,B=π/3=60度。 tan(A+C)=-tanB=-√3, 即(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=(3+√3)/(1-tanAtanC)=-√3 tanAtanC=2+√3。 tanA=1,tanC=2+√3或tanA=2+√3,tanC=1 于是有:A=45度,B=60度,C=75度或者A=75度,B=60度,C=45度。 设AB边上高CD,CD=4√3, A=45度,B=60度,C=75度时 AD=CD=4√3,BD=CD/tanB=(4√3)/√3=4 所以c=AB=AD+BD=4+4√3 a=BC=2BD=8,b=AC=(√2)CD=4√6 所以a=8,b=4√6,c=4+4√3 A=75度,B=60度,C=45度时 a=BC=2BD=8,BD=4,AD=CD/tanA=(4√3)/(2+√3)=-12+8√3 c=AB=BD+AD=-8+8√3 b=AC=√(AD^2+CD^2)=8√(6-3√3) 所以a=8,b=8√(6-3√3),c=-8+8√3