设α1,α2,α3是其次线性方程组Ax =0的基础解系,证明:β1=α1+α2+α3,β2=α1+α2+2α3,β3=3

首先题目应该交代了α1,α2,α3,α4为Ax=0的基础解系。可见α1,α2,α3,α4为Ax=0的基础解中的极大线性无关组,秩为4。证明：1。证明α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1认为Ax=0的解；A（α1+α2）=Aα1+ Aα2=0+0=0,显然α1+α2为Ax=0的解,同理可证其他向量也为Ax=0的解。2。或者证明α1,α2,α3,α4和α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1为等价向量组或者证明α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1为线性无关组。我们采用第二种证明方法：设c1（α1+α2）+c2(α2+α3)+c3( α3+α4)+c4(α4+α1)=0整理得(c1+c4)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3+(c3+c4)α4=0由α1,α2,α3,α4线性无关可得c1+c4=0c1+c2=0c2+c3=0c3+c4=0解方程组得c1=c2=c3=c4=0。从而α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1线性无关又由于其为Ax=0的解,所以其为Ax=0的基础解系。证毕!这样可以么?