求积分∫（0到√2）dy∫（y到（4-y^2）^0.5）1/(1+x^2+y^2)^(1/2)dx

答案是(√5-1)*π/4√2 √（4-y^2)∫ dy∫1/(1+x^2+y^2)^(1/2)dx0 y得知：积分区域D 为圆：x^2+y^2=4 与直线 y=x 和x轴 围成的图形画出来可以看出是一个圆心角为π/4的扇形直角坐标系变极坐标系dxdy=r*drdθ x=cosθ*r y=sinθ*r带入得：记得变换坐标系后要变换积分上下限原式变成：π/4 2∫dθ ∫1/[1+（cosθ*r）^2+（sinθ*r）^2]^(1/2)*rdr0 0π/4 2=∫dθ ∫1/[1+r^2]^(1/2)*rdr0 0π/4 2=∫dθ ∫1/[1+r^2]^(1/2)d(r^2+1)0 0 π/4 =(√5-1)*∫ dθ 0 =(√5-1)*π/4