怎么理解函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上可积,即连续=>可积

可积必连续,可积不一定连续。考察连续函数和函数的积分的定义便知。 再问： 能详细点吗？谢谢！ 再答： “可积必连续，可积不一定连续。”这话时错误的，应该是“连续必可积，可积未必连续。” （1）f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积。 f(x)在区间[a，b]上连续，根据介质定理的推论，f(x)在区间[a，b]上有界，满足可积条件。根据函数连续的定义，在[a，b]上的任一点x0→0时f(x)的极限为f(x0)，即介于曲线y＝f(x)、直线x＝a和x＝b 、x轴之间各部分的面积代数和为定值，由定积分的几何意义得知f(x)在区间[a，b]上可积。 （2）f(x)在区间[a，b]上可积，则f(x)在区间[a，b]上未必连续。 若f(x)在区间[a，b] 上有界且只存在第一类间断点x1时（只存在有限个第一类间断点时类似讨论），f(x1)不存在，f(x)在区间[a，b]上不连续；而f(x)在区间[a，x1）和（x1，b]内的广义积分收敛，则f(x)在区间[a，b]上可积，即f(x)在区间[a，b]上可积，而f(x)在区间[a，b]上不连续；另一方面，f(x)在区间[a，b] 上有界且无间断点时，f(x)在区间[a，b] 上连续。因此f(x)在区间[a，b]上可积，则f(x)在区间[a，b]上未必连续。