1的平方加2的平方加3的平方直到n的平方

由1²+2²+3²+。+n²=n（n+1)（2n+1）/6∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1。a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1等式两边相加：（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+。+n²）+3（1+2+3+。+n）+（1+1+1+。+1）3（1²+2²+3²+。+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+。+n）-（1+1+1+。+1）3（1²+2²+3²+。+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n6（1²+2²+3²+。+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)∴1²+2²+。+n²=n（n+1)（2n+1）/6。