设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．

学习时间:2026-04-02 06:16:57 阅读：5699

设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

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健康的彩虹

2026-04-02 06:16:57

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（Ⅰ）f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．（Ⅱ）由题设，g（x）=ax³-3x²+3ax²-6x=ax²（x+3）-3x（x+2）．当g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）时，g（0）≥g（2），即0≥20a-24．故得a≤65．反之，当a≤65时，对任意x∈[0，2]，g(x)≤65x2(x+3)−3x(x+2)=3x5(2x2+x−10)=3x5(2x+5)(x−2)≤0，而g（0）=0，故g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）．综上，a的取值范围为(−∞，65]．

设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．

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