初等数论,若P为素数且P=1(mod4),则(((p-1)/2)!)^2+1=0(mod p)

根据Wilson定理,由p是素数有(p-1)!≡ -1 (mod p)。由p是奇数,有如下(p-1)/2个同余式:p-1 ≡ -1 (mod p),p-2 ≡ -2 (mod p),。。。(p+1)/2 ≡ -(p-1)/2 (mod p)。相乘即得(p-1)!/((p-1)/2)!≡ (-1)^((p-1)/2)·((p-1)/2)!(mod p)。于是-1 ≡ (p-1)!≡ (-1)^((p-1)/2)·(((p-1)/2)!)² (mod p)。当p ≡ 1 (mod 4),(p-1)/2为偶数,(-1)^((p-1)/2) = 1。故(((p-1)/2)!)² ≡ -1 (mod p),即(((p-1)/2)!)²+1 ≡ 0 (mod p)。