对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的

学习时间:2026-04-07 19:44:32 阅读：499

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f″（x）=0 有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x3-3x2+2x-2，请解答下列问题：（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；（2）求证f（x）的图象关于“拐点”A对称．

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畅快的白猫

2026-04-07 19:44:32



（1）∵f'（x）=3x²-6x+2，∴f''（x）=6x-6，令f''（x）=6x-6=0，得x=1，f（1）=-2 所以“拐点”A的坐标为（1，-2）（2）设P（x₀，y₀）是y=f（x）图象上任意一点，则y0＝x03−3x02+2x0−2 ∴P（x₀，y₀）关于（1，-2）的对称点P'（2-x₀，-4-y₀），把P'（2-x₀，-4-y₀）代入y=f（x），得左边=−4−y0＝−x03+3x02−2x0−2 右边=(2−x0)3−3(2−x0)2+2(2−x0)−2＝−x03+3x02−2x0−2 ∴左边=右边，∴P'（2-x₀，-4-y₀）在y=f（x）图象上，∴f（x）的图象关于“拐点”A对称．

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