已知两个正实数x,y满足x+y=4,则使不等式1x+4y≥m恒成立的实数m的取值范围是( )
已知两个正实数x,y满足x+y=4,则使不等式1x+4y≥m
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∵不等式1x+4y≥m对两个正实数x,y恒成立,即(1x+4y)min≥m,∵x+y=4,即x4+y4=1,又∵x>0,y>0,∴1x+4y=(1x+4y)(x4+y4)=y4x+xy+54≥2y4x•xy+54=1+54=94,当且仅当y4x=xy,即x=43,y=83时取“=”,∴(1x+4y)min=94,∴m≤94,∴实数m的取值范围是(-∞,94].故选:D.
最新回答共有2条回答
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2026-04-02 08:05:54洁净的猎豹
回复∵不等式1x+4y≥m对两个正实数x,y恒成立,即(1x+4y)min≥m,∵x+y=4,即x4+y4=1,又∵x>0,y>0,∴1x+4y=(1x+4y)(x4+y4)=y4x+xy+54≥2y4x•xy+54=1+54=94,当且仅当y4x=xy,即x=43,y=83时取“=”,∴(1x+4y)min=94,∴m≤94,∴实数m的取值范围是(-∞,94].故选:D.
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